Finne lahir di Bergen dan orangtuanya berasal dari Voss. Selama masa kecilnya, Finne aktif dalam atletik, olahraga ski lintas alam, dan sepak bola. Ia bahkan menjadi juara regional dalam olahraga ski lintas alam saat berkompetisi untuk Voss IL. Finne tumbuh di sekitar Stadion Brann dan bermain sepak bola untuk SK Trane sebelum akhirnya bergabung dengan Nymark IL pada usia 12 tahun. Bersama dengan Andreas Vindheim dan Kasper Skaanes, ketiganya kemudian bergabung dengan tim muda SK Brann pada tahun 2009. Sebelum ia menandatangani kontrak profesional dengan Brann, Finne sudah memenuhi syarat untuk bermain di Tippeligaen karena namanya terdaftar dalam daftar B tim. Ia sempat diminati oleh klub Belanda NEC Nijmegen dan klub Ole Gunnar Solskjær, yaitu Molde, namun Finne memilih untuk menandatangani kontrak profesional dengan Brann pada bulan September 2012. Ia mencetak dua gol pertamanya di Tippeligaen dalam pertandingan melawan klub rival Rosenborg pada tanggal 23 September 2012. Pada musim 2012, ia tampil dalam lima pertandingan dan mencetak tiga gol, yang membuatnya mendapatkan julukan "si rubah di kotak penalti". Pada awal musim 2013, Finne tampil sebagai pemain pengganti menggantikan Kristoffer Barmen dalam pertandingan melawan Lillestrøm pada bulan April 2013. Pada babak pertama Piala Sepak Bola Norwegia 2013, Finne mencetak empat gol saat Brann menang dengan skor 14-0 melawan Hovding. Pada bulan Juni 2013, Finne menolak tawaran kontrak baru dari Brann dan menyatakan keinginannya untuk pindah ke luar negeri, baik pada musim panas atau setelah kontraknya berakhir pada akhir musim. Sikap Finne ini tidak disukai oleh para penggemar Brann, dan ia dihujat saat masuk menggantikan Martin Pusic dalam pertandingan kandang melawan Sandnes Ulf pada tanggal 29 Juni 2013. Namun, Finne menjawab dengan mencetak hat-trick dalam kemenangan 6-1.
Pada tanggal 20 Agustus 2013, diumumkan bahwa Finne telah menandatangani kontrak selama 3,5 tahun dengan klub divisi 2 Bundesliga, 1. FC Köln, yang akan berlaku mulai bulan Januari 2014. Ia bergabung dengan klub tersebut sebagai pemain bebas transfer karena kontraknya dengan Brann berakhir pada tanggal 31 Desember 2013. Finne melakukan debutnya untuk 1. FC Köln pada tanggal 9 Februari dalam pertandingan divisi 2 Bundesliga melawan SC Paderborn di RheinEnergie Stadion, dengan hasil akhir 0-1, ia masuk sebagai pemain pengganti menggantikan Anthony Ujah pada menit ke-46.
Pada tanggal 16 Januari 2016, Finne pindah ke 1. FC Heidenheim. Ia bermain dalam 24 pertandingan dan mencetak 3 gol untuk klub tersebut.
Pada tanggal 24 Februari 2017, Finne menandatangani kontrak selama empat tahun dengan rival Brann, yaitu Vålerenga, meskipun agennya menyatakan bahwa ia tidak akan pernah bermain untuk klub Norwegia lainnya. Pada tanggal 3 April, ia mencetak satu-satunya gol dalam kemenangan 1-0 pada debut kompetitifnya untuk Vålerenga melawan Viking.
Pada tanggal 10 Oktober 2020, klub Danish Superliga, SønderjyskE, mengumumkan bahwa Finne akan bergabung dengan klub tersebut mulai tahun 2021 dengan kontrak hingga Juni 2024.
Pada tanggal 5 Agustus 2021, Finne kembali ke Norwegia dan menandatangani kontrak dengan klub lamanya, SK Brann, hingga Juni 2025. Ia menjadi pencetak gol terbanyak dalam Divisi Pertama Norwegia 2022 dengan 16 gol, bersama dengan Gift Orban.
Di level internasional, Finne pertama kali mewakili Norwegia saat ia bermain dalam dua pertandingan untuk tim di bawah 15 tahun melawan Swedia pada bulan September 2010. Pada bulan berikutnya, ia dipilih untuk masuk dalam skuad yang berhadapan dengan Portugal, Prancis, dan Belanda dalam turnamen di bawah 15 tahun. Pada tahun 2010, ia bermain dalam total lima pertandingan untuk tim di bawah 15 tahun. Pada tahun berikutnya, ia bermain dalam 11 pertandingan dan mencetak lima gol untuk tim di bawah 16 tahun. Pada tahun 2012, ia bermain dalam 11 pertandingan dan mencetak empat gol untuk tim di bawah 17 tahun, serta bermain dalam 11 pertandingan dan mencetak tiga gol untuk tim di bawah 18 tahun. Ia melakukan debutnya untuk tim di bawah 19 tahun pada tahun 2013 dan mencetak gol melawan Belanda U19 dan Siprus U19 dalam kualifikasi elit untuk Kejuaraan Eropa U19 2013.
Follow