Lee lahir di Durham dan merupakan pemain tim muda di West Ham United. Ia melakukan debut untuk tim cadangan pada tahun 2011 sebelum menandatangani kontrak profesional pertamanya pada Agustus 2012. Penampilan pertamanya bersama skuad tim utama terjadi pada 1 Januari 2013 ketika ia menjadi cadangan yang tidak digunakan dalam pertandingan Liga Premier melawan Norwich City. Lee kemudian melakukan debut profesionalnya untuk West Ham, sebagai pengganti pada menit ke-78 untuk Ricardo Vaz Tê, pada 16 Januari 2013 dalam kekalahan 1-0 di putaran ketiga Piala FA melawan Manchester United di Old Trafford. Pada 12 Agustus 2013, Lee mencetak dua gol pada babak pertama untuk tim pengembangan West Ham melawan Aston Villa U-21. Pada 31 Agustus, ia melakukan debut di Liga Premier untuk West Ham, masuk sebagai pengganti pada menit ke-88 untuk Mohammed Diamé dalam kekalahan 1-0 di kandang melawan Stoke City. Tiga minggu kemudian, Lee mencetak hat-trick melawan Newcastle Reserves dalam kemenangan 5-4 di laga tandang. Ia kemudian mencetak 11 gol musim itu untuk tim pengembangan.
Pada 22 Oktober 2013, Lee bergabung dengan Colchester United dengan status pinjaman selama satu bulan. Satu-satunya gol Lee untuk Colchester dicetak pada 2 November dalam hasil imbang tandang melawan Rotherham United: pada waktu tambahan di babak kedua, ketika Rotherham unggul 2-1, Lee mencetak gol dengan sundulan yang mengenai mistar dan memantul melewati garis gawang sehingga membuat skor akhir menjadi 2-2. Ia kembali ke West Ham pada 21 November setelah empat penampilan dan satu gol untuk Colchester United.
Pada 31 Oktober 2014, Lee bergabung dengan Southend United dengan status pinjaman selama tiga bulan. Beberapa jam setelah bergabung dengan Southend, Lee mengalami cedera hamstring dan kembali ke West Ham untuk mendapatkan perawatan. Pada 5 November, Lee dinyatakan tidak dapat bermain setidaknya selama dua bulan. Pinjamannya dibatalkan pada 6 November dan ia kembali ke West Ham United, klub asalnya.
Pada 19 Februari 2015, Lee bergabung dengan Luton Town dengan status pinjaman selama satu bulan. Lee memilih untuk menggunakan nomor punggung 38 sebagai penghormatan kepada mantan rekan setimnya di West Ham, Dylan Tombides, yang juga menggunakan nomor 38. Ia mencetak gol pada debutnya untuk Luton dua hari kemudian, empat menit setelah masuk sebagai pengganti untuk Andy Drury dalam kekalahan 3-2 tandang melawan AFC Wimbledon. Pada 24 Maret 2015, Lee mencetak dua gol dalam kekalahan kandang 2-3 melawan Wycombe Wanderers. Setelah mencetak gol, ia mengungkapkan kaos bertuliskan gambar Tombides, yang ia dedikasikan untuk gol-golnya. Keesokan harinya, kontrak pinjamannya dengan Luton diperpanjang hingga akhir musim 2014-2015. Manajer Luton, John Still, mengatakan tentang Lee, "Elliot telah luar biasa untuk kami dan kami sangat senang memiliki dia untuk sisa musim ini."
Lee mencetak hat-trick lainnya untuk tim pengembangan West Ham ketika mereka menghadapi klub Conference Premier, Woking, dalam pertandingan persahabatan pra-musim pada 5 Agustus 2014. Lee menjadi cadangan yang tidak digunakan dalam kekalahan melalui adu penalti melawan Sheffield United di putaran kedua Piala Liga pada 26 Agustus 2014. Pada hari yang sama, ia diberikan nomor punggung 36 untuk tim utama. Pada penampilan pertamanya sebagai starter untuk West Ham pada 9 Juli 2015, Lee mencetak gol pertamanya untuk klub. Dalam pertandingan babak kualifikasi Liga Europa melawan FC Lusitanos dari Andorra, ia mencetak satu-satunya gol melalui umpan silang dari Matt Jarvis.
Pada 26 November 2015, Lee dipinjamkan ke klub Liga Satu, Blackpool, hingga 3 Januari 2016. Ia melakukan debutnya dua hari kemudian, masuk sebagai pengganti paruh waktu untuk Bright Osayi-Samuel dalam kemenangan 1-0 atas r"
Follow