Salomonsson memulai karirnya di Ekets GoIF sebelum pindah ke Ängelholms FF pada tahun 2004. Pada musim 2006 di Divisi 1, ia menarik minat dari tiga klub di Allsvenskan, yaitu IFK Göteborg, Helsingborgs IF, dan Halmstads BK. Setelah menjalani trial di ketiga klub tersebut, ia akhirnya bergabung dengan Halmstads BK. Namun, ia langsung dipinjamkan kembali ke Ängelholms FF hingga 1 Juli, sebelum akhirnya bergabung dengan Halmstads BK. Pada awalnya, ia bermain sebagai bek sayap kanan, tetapi pada pertandingan melawan Kalmar FF pada 9 Agustus, ia bermain sebagai penyerang.

Pada 30 Agustus 2011, dikonfirmasi bahwa Salomonsson telah bergabung dengan rival Allsvenskan, IFK Göteborg. Pada awalnya, ia berperan sebagai cadangan untuk Adam Johansson. Namun, ketika Johansson meninggalkan klub, Salomonsson menjadi bek kanan pilihan pertama. Pada musim 2012, ia bermain dalam 27 pertandingan ketika IFK Göteborg finis di posisi ke-7. Pada musim 2013, ia bukan lagi pilihan utama karena kembalinya Adam Johansson dan kedatangan Ludwig Augustinsson serta Mikael Dyrestam. Namun, karena cedera, ia bermain dalam 28 pertandingan musim tersebut, sebagian besar sebagai bek, tetapi beberapa sebagai pemain sayap kanan. Pada musim 2014, ia sekali lagi memulai musim sebagai pilihan kedua, tetapi pada musim panas ia mendapatkan tempatnya kembali di starting-eleven dan menjadi kontributor besar dalam IFK Göteborg yang berhasil lolos ke babak kualifikasi UEFA Europa League. Pada 30 September 2014, ia menandatangani kontrak baru yang akan membuatnya bertahan di klub hingga akhir musim 2018.

Salomonsson mencetak gol pertamanya untuk Sanfrecce Hiroshima dalam debutnya di J1 League melawan Shimizu S-Pulse pada 23 Februari 2019. Pada 7 Januari 2020, ia dipinjamkan dari Sanfrecce Hiroshima ke Avispa Fukuoka di J2 League. Sejak awal musim, ia menjadi pemain reguler dalam tim dan bermain dalam 39 dari 42 pertandingan liga. Ia dengan cepat menjadi salah satu pemain paling populer dalam tim berkat kecepatan dan ketepatannya, sementara kepribadiannya membuatnya mendapatkan rasa hormat dari para penggemar. Penampilannya membantu Avispa Fukuoka finis di posisi kedua dalam liga dan mendapatkan promosi ke J1 League. Pada 6 Januari 2021, ia mengumumkan berakhirnya masa pinjamannya dan kepindahannya ke Fukuoka. Pada musim 2021, ia mencetak tiga gol dalam 32 pertandingan liga dan dua gol dalam J.League Cup. Penampilannya membantu Avispa Fukuoka finis di posisi ke-8 dalam J1 League, yang merupakan hasil terbaik klub sepanjang sejarah.

Pada 10 Desember 2021, diumumkan bahwa Salomonsson akan kembali ke IFK Göteborg dengan status transfer bebas. Ia menandatangani kontrak selama tiga tahun.

Hingga 6 November 2022, berikut adalah statistik karir klub Salomonsson. Di level internasional, statistiknya terakhir diupdate pada 12 Januari 2017. Ia juga memiliki beberapa penghargaan, termasuk memenangkan Svenska Cupen bersama IFK Göteborg pada musim 2012-2013 dan 2014-2015, serta meraih gelar Archangel of the Year sebagai pemain terbaik IFK Göteborg pada tahun 2014.