Selama kariernya, Muñoz juga dipanggil untuk bergabung dengan tim nasional Meksiko. Debutnya di tim nasional Meksiko terjadi pada tahun 2004 dan ia menjadi bagian dari tim nasional yang berhasil finis di tempat keempat pada Piala Konfederasi FIFA 2005. Namun, pada bulan Juni 2012, Muñoz terlibat dalam kecelakaan mobil ketika sedang dalam perjalanan dari Morelia.
Sejak kecil, Muñoz sudah fasih berbahasa Inggris karena ia mendapatkan pendidikan di Northern California saat masih kecil. Ia bersekolah di sekolah dasar dan sekolah menengah pertama di Redwood City sebagai anak imigran yang tidak memiliki status legal di Amerika Serikat. Meskipun demikian, orang tuanya memiliki status penduduk tetap di Amerika Serikat dan tinggal di San Jose. Muñoz kembali ke Meksiko sebelum masuk sekolah menengah atas dan pada usia 19 tahun, ia sudah bermain untuk klub kota kelahirannya di Morelia.
Karier klub Muñoz dimulai di Monarcas Morelia pada tanggal 19 September 1999 dalam pertandingan melawan Pachuca. Pada awalnya, ia menjadi cadangan untuk Ángel Comizzo. Morelia berhasil meraih gelar juara liga Invierno 2000, tetapi Muñoz tidak tampil dalam pertandingan tersebut. Ia baru menjadi pemain inti pada musim Apertura 2002. Pada musim tersebut, Morelia berhasil mencapai final liga melawan Toluca, tetapi kalah dengan agregat skor 4-2. Pada musim berikutnya, ia membantu Morelia mencapai final liga untuk kedua kalinya, tetapi kembali kalah, kali ini dari Monterrey. Muñoz menjadi salah satu pemain inti dalam tim tersebut, dan ia bermain dalam 282 pertandingan sebelum pindah ke Atlante pada tahun 2010.
Di Atlante, Muñoz menjadi pemain tetap dalam tim dan ia bermain dalam 53 pertandingan liga sebelum akhirnya pindah ke Club América pada tanggal 25 November 2011. Pada turnamen debutnya dengan Club América, yaitu Clausura 2012, ia tampil dalam 21 pertandingan dan bermain selama 90 menit dalam 20 pertandingan tersebut. Pada Mei 2013, Muñoz bermain dalam final liga pertamanya bersama Club América, tetapi kalah 0-1 dalam leg pertama melawan Cruz Azul. Namun, penampilannya dalam leg kedua membantu Club América melakukan comeback yang dramatis dengan mencetak gol penyama kedudukan pada menit ke-88 dan gol penentu kemenangan dalam waktu injury time. Club América akhirnya berhasil memenangkan pertandingan tersebut melalui adu penalti dan meraih gelar juara liga ke-11 mereka. Penampilan Muñoz dalam pertandingan tersebut mendapat pujian dari berbagai media. Pada tanggal 1 Oktober 2016, ia mencapai 500 pertandingan liga ketika Club América bermain imbang 1-1 melawan Monterrey.
Di tim nasional Meksiko, Muñoz melakukan debutnya pada pertandingan persahabatan melawan Ekuador pada tanggal 27 Oktober 2004. Ia menjadi penjaga gawang cadangan dalam Copa América 2004 dan Piala Konfederasi FIFA 2005. Muñoz menjadi penjaga gawang utama dalam Piala Emas CONCACAF 2005. Ia juga masuk dalam skuad awal untuk Piala Dunia FIFA 2006, tetapi tidak masuk dalam daftar 23 pemain. Muñoz juga pernah dipanggil sebagai penjaga gawang cadangan oleh Hugo Sánchez dan
Follow